我们的生活就像旅行，理想是导航；没有导航，一切都会停止，目标会丧失，力量也会化为乌有。——歌德

伊莎多拉·邓肯是现代舞蹈的先驱，更是人们心中的“赤脚女神”。但她的童年却是灰色的，父母离异，家境贫寒，10岁的她就被迫辍学。

在辍学后，她每天都会到离家数十英里远的奥克兰公共图书馆去阅读狄更斯、莎士比亚、萨克莱等人的作品。到了晚上，她会点着蜡烛，继续看白天借来的书，而且直到凌晨蜡烛燃尽才肯罢休。

虽然家境贫寒，但她始终没有放弃过自己的梦想——成为一名芭蕾舞蹈家。为了实现这一梦想，她带着奶奶去世前流下的几颗旧钻石和仅有的25美元来到了芝加哥。但是，在那里她并没有找到合适的工作，身上的钱很快就用光了。

后来在芝加哥实在是看不到什么前途，她便决定去纽约寻求发展。然而，如何去纽约就成了当时的首要问题，因为她没有钱支付路费。于是，她来到了一家剧院老板下榻的酒店推销自己，在门口一连等了几天。在好不容易等到剧院老板之后，伊莎多拉对他说：“我可以给您提供一项建议。我发明了一种新式舞蹈，是年前失落的艺术。我认为，您是最出色的舞台艺术家，但是您的舞台上还是缺少了一样东西，那就是舞蹈艺术。而我，正好可以为您提供这种艺术。”

说这段话的时候，她的言行举止一直透出一股自信和热忱，很难想象，此时的她实际上只是个饥肠辘辘、身无分文的可怜姑娘。

最终，她的真诚打动了这位剧院老板，如愿以偿地当上了一位哑剧演员，并跟随剧团到纽约演出。尽管她历经千辛万苦到了纽约，但在这里她还是未能实现梦想。

于是，她再次辗转，乘坐一艘载满牲畜的船去了法国。在那里，她几乎每天都会到卢浮宫博物馆等地欣赏各类艺术作品，培养自己的艺术灵感，为实现梦想作准备。是的，上帝总会眷顾那些怀有梦想的人，在巴黎伊莎多拉·邓肯终于成功拉开了她舞蹈梦想的序幕。

有位名人曾经说过：“对于盲目的船来说，所有的风向都是逆风。”而且还有一句话：“如果你有一个目标，那么整个世界都会为你让路。”是的，如果我们把人生或学业专注地锁定在“一个”明确的方向上，那么，你的人生可能就会更精彩，你的学业可能就会更成功。

我学习数学也如此，要又目标，要讲究方法测量。

三角形在平面图形中是最简单的也是最基本的多边形，一切多边形都可分割成若干个三角形，并借助三角形来推导有关的性质，所以掌握三角形的特征是很重要的。学好这部分内容，不仅为学习其他多边形积累了知识经验，还可以为进一步学习三角形的有关知识打下了良好基础。

考点1　三角形的分类

考点2　三角形的边、角关系

3．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．

如图，a＋bc，

a－b

c.

判断构成三角形的条件：已知三条线段长，只要较短两条线段长度的和大于第三条线段的长度，即可判定其能构成三角形；已知两边和第三边给定范围求三角形周长时，一定要利用三边关系先判断是否能构成三角形，再计算．

4．三角形内角和定理：三角形的内角和等于°.

5．三角形内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．

6．三角形的稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定不变了．三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如桥梁、起重机、人字形屋顶等．　

考点3　三角形中的重要线段

几何模型1：8字模型

1.找模型

因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型。两条相交的线段构成舍对项角的两个三角形，简称“有交点，想8字”

2.用模型

“8字”型的实质是利用三角形内角和定理进行角度转化来解题，模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

拓展延伸

角度和相等，是解决角度转化的重要思想.“8字”型虽筒单，但往往在几何综合题中推导角度时用到。

几何模型2：“燕尾”型

怎么用？

1.找模型

遇到凹四边形的角度问题，考虑用“蒸尾”型基础模型；

2.用模型

通过“燕尾”型把“凹”的角转换成三个内角之和

3.巧学巧记

简记：“凹角等于凸角之和”。

怎么用？

1.找模型

遇到共边的两个三角形的面积相关问题，考廊用“燕尾型基础模型2

2.用模型

通过模型将面积问题转化为边的问题

3.满分技法

燕尾相邻的两个三角形共底不等高，常根据三角形的面积公式“1/2×底×高”可推导“共底不等高”的三角形的面积比即为对应高的比。

几何模型3：双角平分线模型

典型问题

例1．（中山市二模）若长度分别是2，3，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值不可能是（ 　　）

A．1B．2C．3D．4

：由三角形三边关系定理得：3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5，

即符合的整数a的值可以是2，3，4，不可能是1．故选：A．

变式1．（春东台市期中）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ 　　）

A．10B．11C．12D．13

：设第三边为a，

根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，

∵a为整数，∴a的最大值为6，

则三角形的最大周长为6+2+5＝13．故选：D．

变式2.（春碑林区校级期中）两根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则满足条件的三角形的个数为（ 　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

：设第三根木棒的长度为xcm，

由三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12，

又x为偶数，∴x的值为4，6，8，10，共四种，故选：B．

变式3．（春沙坪坝区校级期中）已知三角形的三边长为4、x、11，化简

x﹣5

+

x﹣16

＝　　．

：∵三角形的三边长分别是4、x、11，

∴7＜x＜15，∴x﹣5＞0，x﹣16＜0，

∴

x﹣5

+

x﹣13

＝x﹣5+16﹣x＝11，

故答案为：11．

变式4．（春秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ 　　）

A．7B．10C．11D．14

分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．

①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；

②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；

③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；

④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，故选：B．

例2．（春玄武区校级期中）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝°，则∠5的度数为（ 　　）

A．30°B．40°C．45°D．50°

：如图，在△ADE中，

∵∠A+∠1+∠2＝°，

∴∠A＝°﹣（∠1+∠2），

在△BMN中，∵∠B+∠3+∠4＝°，

∴∠B＝°﹣（∠3+∠4），

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝°，

∴°﹣（∠1+∠2）+°﹣（∠3+∠4）+∠5＝°，

∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝°，

∴∠5＝°﹣°＝40°，故选：B．

变式1．（川汇区一模）如图，一副直角三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．顶点D在AC边上，且EF∥AB，则∠CDF的度数是（ 　　）

A．10°　　B．15°　　C．20°　　D．25°

：延长AC，EF交于点G，如图，

∵EF∥AB，∠A＝30°，

∴∠AGE＝∠A＝30°，

∵∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°，

∴∠DFG＝∠E+∠FDE＝°，

∴∠CDF＝°﹣∠FDE﹣∠AGE＝15°．故选：B．

变式2．（春建湖县期中）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是（ 　　）

A．75°　　B．80°　　C．90°　　D．°

：如图，由题意得：∠A＝90°，

∵∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB，

在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝°，

∴∠ABC+∠ACB＝°﹣∠A＝90°，

即∠1+∠2＝90°．故选：C．

变式3．（武安市一模）如图是工人正在加工的一个工艺品的一个面，经过测量不符合标准．标准要求是：∠EFD＝°，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了达到标准，工人可以将图中∠D　　（选填“增大”或“减小”）　　度．

：如图，延长EF交CD于点M，

∵∠A＝70°，∠B＝50°，

∴∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠ACB＝60°，

∵∠E＝40°，∴∠EMD＝∠E+∠MCE＝°，

∵标准要求：∠EFD＝°，

又∵∠EFD＝∠EMD+∠D，

∴在标准要求下，∠D＝20°，

∵原来的∠D＝35°，∴∠D减小15°，

故答案为：减小；15．

变式4．（春秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是　　°．

：延长FC交AD于点G．

∵∠E＝80°，∠F＝60°，

∴∠FCE＝°﹣∠E﹣∠F

＝°﹣80°﹣60°＝40°．

∵AB∥CF，AD∥CE

∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．

∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案为：40．

例3．（春泗阳县期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ 　　）

A．10B．5C．8D．4

例4．（春江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　　；

（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：

①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个；

②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；

③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；

④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．

：（1）∵∠A+∠D＝°﹣∠AOD，∠B+∠C＝°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；

故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C；

（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，

以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，

以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，

故答案为6个；

②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，

∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，

由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，

整理得：∠B+∠D＝2∠P，

③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：

∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，

∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，

由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，

整理得：∠B+∠D＝2∠P；

④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：

由（1）中结论得：

∠2+∠P＝∠4+∠B，

3∠2+∠D＝3∠4+∠B，

整理得：2∠B+∠D＝3∠P．

例5．（春如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过

点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　　°；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数 　　（用含α和β的式子表示）；